Valor absoluto

Se llama valor absoluto (o módulo) de un número real $x$ (su notación es $|x|$) al número real no negativo, que satisface las condiciones:

$|x|=x,\ si\ x\ge 0$;

$|x|=-x,\ si\ x<0$.

De la definición se deduce que para cualquier número x se verifica $x\le |x|.$

Propiedades

Valor absoluto en una función

1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos:

$|x+y|\leq|x|+|y|$

• Demostración: Sea $x+y\ge 0$. Entonces:

$|x+y|=x+y\le |x|+|y|$ (ya que $x \leq |x|$ e $y\le |y|$).

Supongamos ahora que $x+y<0$. Entonces:

$|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)\le |x|+|y|$.

1. El valor absoluto de la diferencia de dos números reales no es menor que la diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraendo:

$|x-y|=\ge |x|+|y|$.

• Demostración: Supongamos que $x-y=z$. Entonces $x=y+z$, y según lo demostrado anteriormente, se tiene:

$|x|=|y+z|\le |y|+|z|=|y|+|x-y|$,

de donde:

$|x|-|y|\le |x-y|$.

1. El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores:

$|xyz|=|x||y||z|$.

1. El valor absoluto del cociente es igual al cociente de dividir el valor absoluto del dividendo por el del divisor:

$\left | \frac{x}{y} \right \vert=\frac{|x|}{|y|}$.

Las dos últimas propiedades se derivan directamente de la definición de valor absoluto.