Trigonometría

Coseno y Seno

La trigonometría es una rama de la geometría que estudia los ángulos, los triángulos y sus propiedades. Puesto que trata de ángulos a continuación se definirán tres unidades diferentes de ángulos.

Unidades de los ángulos

Los ángulos son una variable importante en la trigonometría y por lo tanto es importante conocer las posibles unidades de éstos. En la vida cotidiana se suele utilizar el grado sexagesimal, pero en matemáticas lo más utilizado habitualmente son los radianes. Existen tres tipos de unidades importantes para medir los grados:

1. Radián: es la unidad que se emplea habitualmente. En una circunferencia hay 2π radianes.
2. Grado sexagesimal: unidad utilizada habitualmente en la vida cotidiana, pero que no se suele utilizar en la trigonometría. Una circunferencia tiene 360º.
3. Grado centesimal: unidad poco utilizada que dividide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Funciones trigonométricas básicas

Existen tres funciones diferentes que son básicas en la trigonometría: el seno, el coseno y la tangente. Todas ellas se definen con un triángulo rectángulo y con un ángulo cualquiera, α, entre un cateto y la hipotenusa. (Cateto opuesto: $a$, cateto contiguo: $b$ e hipotenusa: $c$).

Seno

El seno de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa, es decir:

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

Coseno

El coseno de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa, es decir:

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

Tangente

La tangente de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo, es decir:

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

pero despejando en la primera ecuación $A$ y en la segunda $B$, nos queda:

$a=\sin(\alpha )\cdot c$

Y

$b=\cos(\alpha )\cdot c$

Es decir:

$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )\cdot c}{\cos(\alpha )\cdot c}}={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$

Funciones trigonométricas inversas

Se definen como funciones trigonométricas inversas el cosecante, la secante y la cotangente.

Cosecante

El cosecante es el inverso del seno. Es decir:

$Cosec(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}$

Secante

La secante es el inverso del coseno. Es decir:

$Sec(\alpha )={\frac {1}{cos(\alpha )}}$

Cotangente

La contangente es el inverso de la tangente. Es decir:

$cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}$

o por la fórmula anterior de la tangente:

$cot(\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

Arcoseno

Se define arcoseno de alfa (y para el resto es equivalente) como la función que nos da el valor del arco cuyo seno es alfa. Esto se puede hacer gracias a que realmente los radianes es la longitud del arco de una circunferencia de radio 1. Como se utilizan los radianes para los ángulos, ese valor

$\sin(\alpha )=x$

el arcoseno será:

$\arcsin(x)=\alpha$

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

$\arcsin(\sin(\alpha ))=\alpha$

Arcocoseno

Si tenemos lo siguiente para el coseno:

$\cos(\alpha )=x$

el arcocoseno será:

$\arccos(x)=\alpha$

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

$\arccos(\cos(\alpha ))=\alpha$

Arcotangente

Si tenemos lo siguiente para la tangente:

$\tan(\alpha )=x$

el arcotangente será:

$\arctan(x)=\alpha$

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

$\arctan(\tan(\alpha ))=\alpha$

$ 

Valores importantes de las funciones trigonométricas

A continuación se muestra una tabla con los valores más importantes y utilizados en el campo de la trigonometría:

Radián	Ángulo	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0\;$	$0^{o}\,$	$0$	$1$	$0\,$	$\infty$	$1\,$	$\infty$
$\frac{\pi}{6}$	$30^{o}\,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^{o}\,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1\,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1\,$
$\frac{\pi}{3}$	$60^{o}\,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^{o}\,$	$1$	$0$	$\infty$	$1\,$	$\infty$	$0\,$

Identidades trigonométricas

Esta es la identidad básica de la trigonometría. A continuación se muestran otras identidades importantes dentro de la trigonometría:

$\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )$

• $\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )$

• $\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )\pm \sin(\beta )\cos(\alpha )$

• $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )\mp \sin(\beta )\sin(\alpha )$