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El Teorema de Bolzano dice lo siguiente:

Si es continua en el intervalo cerrado entonces existe al menos un punto "c" en el intervalo cerrado en el cual . Simbólicamente:

Demostración[]

Ejemplo del teorema de Bolzano

Suponer que f'(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera análoga)

Sea Z1 = (a + b)/2

Si f(Z1) = 0, ya estaría con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1) > 0 y f(Z1) < 0

Si f(Z1) > 0, entonces X1 = a e Y1=Z1

Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b

Sea Z2 = (X1 + Y1)/2

Si f(Z2) = 0,ya estaría con c = Z2, sino hay dos posibilidades, f(Z2) > 0 y f(Z2) < 0

Si f(Z2) > 0,entonces X2 = X1 e Y2 = Z2

Si f(Z2) < 0,entonces X2 = Z2 e Y2 = Y1

Repetimos el proceso iterativamente.

Observar que In=[Xn, Yn] está contenido en [a, b], que la longitud del invervalo es [1/(2^n)].(b - a), sucesión que tiende a 0, y que f(Xn) < 0 y f(Yn) > 0 para todo n. Estas condiciones cumplen las impuestas en el Teorema de Cantor de los intervalos encajados, por tanto la intersección infinita de la sucesión In es igual a un c tal que es el límite de Xn y el límite de Yn. Por otra parte como f es continua, f(c) = lim f(Xn) menos o igual que 0 y f(c) = lim f(Yn) mayor o igual que cero, por tanto f(c) = 0

Finalmente como f(a) < 0 y f( b ) > 0 (por hipótesis), c distinto de a y de b, luego es un punto interior como habíamos dicho.

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