Serie de Taylor

Aproximaciones de la función f(x)=sinx

La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación $f^{(n)}$ y en las proximidades del punto $a$ se define como :

$\sum _{n=0}^{\infty }(x-a)^{n}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}$

donde $n!$ es el factorial, $f^{(n)}$ la enesima derivada y $a$ el punto por donde se quiere calcular la serie de taylor.

En el caso en el que $a=0$ se llama serie de McLaurin.

Todas las funciones, como se puede ver, pueden ser escritas en forma de polinomios lo que hace más sencillo algunas operaciones tales como:

• La derivación.
• La integración.
• Cálculo de límtes.
• Cálculo de valores aproximados de la función.

Algunas series importantes de Taylor

A continuación se enumeran unos cuantos desarrollos importantes:

Función exponencial y logaritmo natural:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Serie geométrica

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Funciones trigonométricas

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$