Límite

Límite

Siendo $y=f(x)$ una función real de variable real, es decir:

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$x\to y=f(x)$

Se dice que $f(x)$ tiene límite en "l" cuando $x\to a$, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ si y sólo si, cuando los valores de "x" se aproximan indefinidamente a "a", los valores de $f(x)$ se aproximan indefinidamente a "l".

Simbólicamente:

$\lim _{x\to a}f(x)=l\iff \forall \quad \varepsilon >0\quad \exists \quad \delta (\varepsilon )>0\quad /\quad si\quad 0<|x-a|<\delta \to |f(x)-l|<\varepsilon$

Es decir, para todo epsilon mayor que 0 existe un delta que depende de epsilon y es mayor que cero, tal que, si los valores de "x" distan de "a" una cantidad menor que delta y son distintos de "a", entonces los correspondientes valores de f(x) distan de "l" una cantidad menor que epsilon.

Si obervamos $0<|x-a|<\delta$ podemos ver que a "a" no se le exige la condición ya que en los límites sólo se estudia el comportamiento en las proximidades.

Propiedades de los límites

• El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales.
• Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .
• $\lim _{x\to a}f+g=\lim _{x\to a}f+\lim _{x\to a}g$
• $\lim _{x\to a}f\cdot g=\lim _{x\to a}f\cdot \lim _{x\to a}g$
• $\lim _{x\to a}k\cdot f=k\cdot \lim _{x\to a}f$ Si $k$ es una constante.
• $\lim _{x\to a}{\frac {f}{g}}={\frac {\lim _{x\to a}f}{\lim _{x\to a}g}}$ si $\lim _{x\to a}g\neq 0$

Unicidad del Límite

Como se ha dicho en el apartado anterior, si $f(x)$ tiene límite cuando $x\to a$, este es único. Es decir:

$Si\quad \exists \quad \lim _{x\to a}f(x)$ es único.

Como apliación, se puede utilizar para el cálculo de algunos límites, ya que si la función no tiende a un valor único en "a", entonces no existe el límite.

Por ejemplo:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}$

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}={\frac {1}{1+e^{\infty }}}=1$

Por la izquierda:

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}={\frac {1}{1+e^{-\infty }}}=0$

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son diferentes.

Propiedades de las Funciones que tienen límite

Las dos funciones son idénticas

1. Si dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tienen idéntico comportamiento en las proximidades de "a" (pero no necesariamente en "a"), entonces las dos tienen el mismo límite cuando $x\to a$. Es decir:

$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)$

Por ejemplo tenemos las siguientes funciones:

$f(x)={\frac {x^{2}+25}{x+5}}$

$g(x)=x-5$

Aunque parezcan iguales no lo son porque para $f(x),x=5\quad \notin domf$ y para $g(x)x=5\quad \in domg$ En todos los demás puntos son iguales, entonces aplicando la primera propiedad, tendríamos que el límite es el mismo, apliquemos pues el límite:

$\lim _{x\to 5^{-}}{\frac {x^{2}+25}{x+5}}=\lim _{x\to 5^{-}}x-5=-10$