Límite

Siendo $y=f(x)$ una función real de variable real, es decir:

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$x\to y=f(x)$

Se dice que $f(x)$ tiene límite en "l" cuando $x\to a$, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ si y sólo si, cuando los valores de "x" se aproximan indefinidamente a "a", los valores de $f(x)$ se aproximan indefinidamente a "l".

Simbólicamente:

$\lim _{x\to a}f(x)=L\iff \forall \quad \varepsilon >0\quad \exists \quad \delta (\varepsilon )>0\quad /\quad si\quad 0<|x-a|<\delta \to |f(x)-l|<\varepsilon$

Es decir, para todo epsilon mayor que 0 existe un delta que depende de epsilon y es mayor que cero, tal que, si los valores de "x" distan de "a" una cantidad menor que delta y son distintos de "a", entonces los correspondientes valores de f(x) distan de "l" una cantidad menor que epsilon.

Si obervamos $0<|x-a|<\delta$ podemos ver que a "a" no se le exige la condición ya que en los límites sólo se estuda el comportamiento en las proximidades.

Unicidad del Límite

Si $f(x)$ tiene límite cuando $x\to a$, este es único. Es decir:

$Si\quad \exists \quad \lim _{x\to a}f(x)$ es único.

Como apliación, se puede utilizar para el cálculo de algunos límites, ya que si la función no tiende a un valor único en "a", entonces no existe el límite.

Por ejemplo:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}$

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}={\frac {1}{1+e^{-\infty }}}=1$

Por la izquierda:

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+e^{\frac {1}{x}}}}={\frac {1}{1+e^{+\infty }}}=0$

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son diferentes.

Propiedades de las Funciones que tienen límite

1. Si dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tienen idéntico comportamiento en las proximidades de "a" (pero no necesariamente en "a"), entonces las dos tienen el mismo límite cuando $x\to a$