Edición de «Límite»

[[Imagen:Limit.png|right|thumb|200px|Límite]]
Siendo <math>y=f(x)</math> una [[función]] real de variable real, es decir:

:<math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math>
:<math>x\to y=f(x)</math>

Se dice que <math>f(x)</math> tiene '''límite''' en "l" cuando <math>x\to a</math>, <math> \lim_{x \to a}f(x) = L </math> si y sólo si, cuando los valores de "x" se aproximan indefinidamente a "a", los valores de <math>f(x)</math> se aproximan indefinidamente a "l".

Simbólicamente:

<math>\lim_{x \to a}f(x) = L \iff \forall \quad \varepsilon > 0 \quad \exists \quad \delta ( \varepsilon) >0\quad /\quad  si \quad 0<|x-a|< \delta \to |f(x)-l|< \varepsilon</math>

Es decir, para todo epsilon mayor que 0 (∀ε>0), existe un delta que depende de epsilon y es mayor que cero, tal que, si los valores de "x" distan de "a" una cantidad menor que delta y son distintos de "a", entonces los correspondientes valores de f(x) distan de "l" una cantidad menor que epsilon.

Si obervamos <math>0<|x-a|< \delta</math> podemos ver que a "a" no se le exige la condición ya que en los límites sólo se estuda el comportamiento en las ''proximidades''.

== Propiedades de los límites ==
*El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales.
*Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .
*<math>\lim_{x\to a}f+g=\lim_{x\to a}f + \lim_{x\to a}g</math>
*<math>\lim_{x\to a}f\cdot g=\lim_{x\to a}f \cdot \lim_{x\to a}g</math>
*<math>\lim_{x\to a}k\cdot f=k\cdot \lim_{x\to a}f</math> Si <math>k</math> es una constante.
*<math>\lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\frac{\lim_{x\to a}f}{\lim_{x\to a}g}</math> si <math>\lim_{x\to a}g\ne 0</math>


== Unicidad del Límite ==

Como se ha dicho en el apartado anterior, si <math>f(x)</math> tiene límite cuando <math>x \to a</math>, este es '''único'''. Es decir:

<math>Si \quad \exists \quad \lim_{ x \to a}f(x)</math> es único.

Como apliación, se puede utilizar para el cálculo de algunos límites, ya que si la función no tiende a un valor único en "a", entonces no existe el límite.

Por ejemplo:

<math>\lim_{x \to 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}</math>

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

<math>\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+e^{\infty}}=1</math>

Por la izquierda:

<math>\lim_{x \to 0^{-}}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+e^{-\infty}}=0</math>

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son diferentes.


== Propiedades de las Funciones que tienen límite ==

[[Imagen:Graficox-5.jpg|right|thumb|300px|Las dos funciones son idénticas]]
# Si dos funciones <math>f(x)</math> y <math>g(x)</math> tienen idéntico comportamiento en las proximidades de "a" (pero no necesariamente en "a"), entonces las dos tienen el mismo límite cuando <math>x \to a</math>. Es decir:

<math>\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x) </math>

Por ejemplo tenemos las siguientes funciones:

:<math>f(x)=\frac{x^2+25}{x+5}</math>
:<math>g(x)=x-5</math>

Aunque parezcan iguales no lo son porque para <math>f(x), x=5 \quad \notin dom f</math>  y para <math>g(x) x=5 \quad \in dom g </math>
En todos los demás puntos son iguales, entonces aplicando la primera propiedad, tendríamos que el límite es el mismo, apliquemos pues el límite:

<math>\lim_{x \to 5^{-}}\frac{x^2+25}{x+5}=\lim_{x \to 5^{-}}x-5=-10</math>
[[Categoría:Análisis Matemático]]