Math
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Límite

Siendo una función real de variable real, es decir:

Se dice que tiene límite en "l" cuando , si y sólo si, cuando los valores de "x" se aproximan indefinidamente a "a", los valores de se aproximan indefinidamente a "l".

Simbólicamente:

Es decir, para todo epsilon mayor que 0 (∀ε>0), existe un delta que depende de epsilon y es mayor que cero, tal que, si los valores de "x" distan de "a" una cantidad menor que delta y son distintos de "a", entonces los correspondientes valores de f(x) distan de "l" una cantidad menor que epsilon.

Si obervamos podemos ver que a "a" no se le exige la condición ya que en los límites sólo se estudia el comportamiento en las proximidades.

Propiedades de los límites[]

  • El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales.
  • Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .
  • Si es una constante.
  • si


Unicidad del Límite[]

Como se ha dicho en el apartado anterior, si tiene límite cuando , este es único. Es decir:

es único.

Como apliación, se puede utilizar para el cálculo de algunos límites, ya que si la función no tiende a un valor único en "a", entonces no existe el límite.

Por ejemplo:

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

Por la izquierda:

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son diferentes.


Propiedades de las Funciones que tienen límite[]

Las dos funciones son idénticas

  1. Si dos funciones y tienen idéntico comportamiento en las proximidades de "a" (pero no necesariamente en "a"), entonces las dos tienen el mismo límite cuando . Es decir:

Por ejemplo tenemos las siguientes funciones:

Aunque parezcan iguales no lo son porque para y para En todos los demás puntos son iguales, entonces aplicando la primera propiedad, tendríamos que el límite es el mismo, apliquemos pues el límite:

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