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Integración NuméricaEditar

Integración Numérica (Método Trapecio Compuesto)

Integración Numérica (Método Trapecio Compuesto)

Autor: @Daniel Briceño

Introducción Editar

Muchos valores de interés para las ciencias se expresan a través de integrales, y algunas de esas integrales son difíciles de resolver analíticamente. Esto puede deberse a la complejidad de la función a integrar, o al dominio de integración o a ambos.

Existen dos posibles pasos a seguir si no se puede llegar a una solución analítica de alguna integral.

1. Hacer algunas aproximaciones, haciendo algún parámetro pequeño, análisis asintótico, etc.

2. Hacer la integración numérica

En esta ocasión, abordaremos la integración numérica:

Integración Numérica: Editar

Es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente o resultan muy complicadas.

La integración numérica es de gran importancia en ciencias aplicadas e ingeniería. Sus aplicaciones van desde cálculo de la capacidad de un pantano a partir de datos topográficos en el ´ámbito de la ingeniería civil, hasta la estimación de la fuerza total ejercida por el aire sobre las alas de un avión en ingeniería aeronáutica. En todas estas aplicaciones el objetivo es calcular una integral definida

Métodos de Newton-Cotes: Editar

Se llaman Métodos de Newton-Cotes a los que se basan en integrar, en lugar de la función dada f(x), un polinomio de interpolación que aproxime a f(x) en [a, b]. Se trata por tanto de toda una familia general de métodos, según el polinomio de interpolación que se considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos para interpolar, etc.). Para el caso de las interpolaciones lineal y cuadrática, estos métodos se denominan Método de los Trapecios y Método de Simpson, respectivamente.

Existen  formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes.

 Las formas cerradas: Son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración (figura a). 

Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos (figura b). Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes no se usan para integración definida,  por tal motivo no profundizaremos en ellas.

Rc-1559664315

Método de los trapecios Editar

Mètodo Simple de los Trapecios Editar

Método de los trapecios Como se ha comentado, el Método de los trapecios es un Método de Newton-Cotes basado en la interpolación lineal. La idea esencial por tanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)), es aproximar f(x) por su polinomio de interpolación lineal en [a, b]

Trapecio-1
Graqfica-0

En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el área del trapecio que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos: (a, f(a)) y (b, f(b)).

Si recordamos la expresión del error de la interpolación lineal, suponiendo que f(x) es continua y derivable dos veces en el intervalo [a,b]:

Error trapecio

Tendremos entonces que: 

E
Donde el error de la integración numérica E será, obviamente: 
Error de e

Integrando en esta última expresión y denominando  se concluye fácilmente en que:

E final
Siendo el valor máximo que alcance la derivada segunda de la función en el intervalo dado

Método de los Trapecios compuestos Editar

Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el Método de los Trapecios Simple suele ser muy impreciso.Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en otros más pequeños y aplicar en cada uno de ellos el Método simple. De esta manera, el Método de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en tomar una partición  , equiespaciada, es decir; Tendremos así que:                                                                                                                                               

H
Teniendo en cuenta las propiedades básicas de la integral definida:
Varias integrales-2
Y aplicando a cada integral el Método simple:
Aplicando a cada integral
Tenemos por tanto la expresión final para el Método de los Trapecios Generalizado:
Metodo trapecio generalizado
En lo que respecta al error de integración, será evidentemente igual a la suma de

los errores de cada una de las aplicaciones del método simple:

Error t compuesto

Si denominamos M2 al máximo de la función f ′′(x) en [a, b] tendremos finalmente: 

E1
Tomaremos habitualmente E definido no negativo, por lo que es frecuente escribir directamente: 
Ew2
Ejemplo: Calcular el valor aproximado de la integral
Intr-0

Utilizando la regla de los trapecios compuesta con n = 8 subintervalos. Evaluar exactamente el valor de la integral y compárese con el valor aproximado obtenido.

De forma exacta: 

Intr-1

Método de los Trapecios, con n = 8.

Dividimos el intervalo [0, 1] en 8 subintervalos y calculamos los correspondientes valores del integrando:

Rc
Finalmente, aplicamos la fórmula antes deducida:
Rc-0

Queda una buena aproximación al resultado exacto. En la próxima sección completaremos este ejercicio mediante el uso del Método de Simpson y comprobaremos que proporciona una mejor aún aproximación.

Si realizamos el mismo cálculo con un número diferente de subintervalos, se obtienen los siguientes resultados: 

Rc-1

Método de Simpson Editar

El Método de Simpson es un método de Newton-Cötes de segundo orden, es decir basado en integrar un polinomio de interpolación de segundo grado, de la forma siguiente: Dada la función f(x) en [a, b], tomaremos como tercer punto para la interpolación el punto medio de dicho intervalo, es decir: xm = a+b 2 , y denominaremos h = b-a 2 a la semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolación de grado 2 que pasa por (a,f(a)),(xm,f(xm)) y (b,f(b)) será:

Rc-2

No es difícil calcular la integral de P2(x) entre a y b, de manera que se obtiene:

Rc-3

La evaluación del error de integración da lugar a un curioso resultado. Suponiendo que la función f(x) es derivable al menos cuatro veces en el intervalo considerado, podemos desarrollar por la fórmula de Taylor la función f(x) en x = xm hasta tercer orden (resto de Taylor de orden 4):

Rc-1559660884

Con un breve cálculo se concluye en la expresión (para la fórmula del Método de Simpson):

Rc-1559660944

Por otro lado, si integramos el desarrollo de Taylor tendremos (simplificando los resultados):

Rc-1559661051
Finalmente el error de integración no es más que (tomando nuevamente el error como definido positivo):

De manera que:            

Rc-1559661121

Si denominamos M4 al máximo que alcance la derivada cuarta de la función en el intervalo [a,b], tendremos finalmente:

Rc-1559661171

Métodos de Simpson compuestos Editar

Método de Simpson (1/3) Editar

      De manera completamente análoga a lo expuesto para el Método de los Trapecios, es posible generalizar (mejorando la precisión) el Método de Simpson por medio de la subdivisión del intervalo dado en otros más reducidos. De esta forma si partimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de anchura h=(b-a)/n tendremos la partición: {x0,x1,...,xn}. De cara a aplicar el Método de Simpson simple paso a paso observamos inmediatamente que n debe ser un número par para conseguir que todo [a,b] quede incluido en la integración numérica. Tendremos entonces:

Rc-1559661842

      Y los puntos x1,x3,...,xn-1 representarán el papel de “puntos medios” en cada una de las aplicaciones sucesivas del método simple.

De forma explícita se obtiene:

Rc-1559661888

Donde I y P representan las sumas:

Rc-1559661932

De cara a la estimación del error, en cada uno de los pasos deberemos considerar

Rc-1559661997

De esta forma, el error de integración en el Método compuesto vendrá dado por:

Rc-1559662045

Donde se denota Mi 4 a los máximos de la derivada cuarta en cada aplicación del método simple y M4 al máximo de la derivada cuarta en todo [a, b]. Concluimos por tanto en la expresión:

Rc-1559662090
Ejemplo:Calcular el valor aproximado de la integral
Rc-1559662214

Utilizando la regla de Simpson compuesta con n = 8. Recordemos la tabla de valores utilizadas en la sección anterior al realizar este ejercicio mediante el método de los trapecios:

Rc-1559662262

De manera que

Rc-1559662303

Al ser comparado con el valor exacto 0.1177830 y el obtenido por la regla de los trapecios 0.117166 nos permite concluir que este método es más preciso que el anterior. Comparando de manera general los dos métodos tendremos:

Rc-1559662353
Método de Simpson Compuesto (3/8) Editar

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

Captura

Para obtener

Captura-0

Donde h = (b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. La regla 3/8 se expresa también de la siguiente manera:

Rc-1559662955

Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de:

Rc-1559663003

O, como h = (b – a)/3,

Rc-1559663053

Puesto que el denominador de la ecuación (Simpson 3/8) es mayor que el de la ecuación (Simpson 1/3), la regla 3/8 es más exacta que la regla 1/3. Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar.

Ejemplo: Con la regla de Simpson 3/8 integre: 
Captura-2
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