Math
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Una curva en el espacio euclideano es un mapeo que es diferenciable es decir si entonces la derivada

existe para cada elección de t en dominio .

Por ejemplo si entonces .

Hélice

Otro, si entonces . Respectivamente estos mapeos son parametrizaciones de un círculo de radio uno en el plano cartesiano y una hélice en el espacio . Aquí -círculo- es como en el inglés circle o francés cercle o alemán Kreis. Las derivadas son vectores tangente a la posición.

Arco-parametrizar una parametrización c, consiste en reemplazar el parámetro t por otro que satisface; .

Sabiendo que la longitud de una curva esta dada por la fórmula

entonces cuando c está arco-parametrizada la longitud l es igual a la longitud del intervalo . Dicho de otra manera el arco-parametro al mismo tiempo que indica la posición , dice que la curva tiene longitud desde la posición hasta , cuando el intervalo es .

En el ejemplo de la curva helicoidal su derivada es y cuyo módulo es . Esto indica que d(t) no es una parametrización por longitud de arco. Para parametrizar por longitud de arco usamos el cambio de variable , que proviiene del cálculo de la longitud de arco

y convenir que la letra s indique el arco-parámetro en vez de l.


Otro ejemplo, una elipse se puede parametrizar así: representa una elipse plana, en el plano .

Derivando, tenemos tangente

con módulo

de donde el arco-parámetro se obtiene de despejar


El triedro móvil[]

Teniendo una curva arco-pametrizada tendremos un vector tangente talque i.e. unitario que llamaremos . El módulo de la segunda derivada define la curvatura de C en a, por k(a). El vector es un vector perpendicular a T(a) y unitario. Por lo que junto a tenemos un marco tridimensional para cada posición Hélice2.PNG