Número e

Es la base de los logaritmos neperianos o naturales y su valor aproximado es: 2,71828182845904523.

Definición Matemática

Su definición básica podemos realizarla al ser la base de los logaritmos neperianos. $e$ es el único número que tiene logaritmo neperiano 1. Es decir:

$\ln e =1$

Existen varias definiciones para el número $e$, una de ellas y la más conocida y aceptada es:

$\lim_{n\to +\infty} \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$

Demostración

$\lim_{n\to +\infty} \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=l$

Tomando logaritmos,

$\ln l=\lim_{n\to \infty} n\cdot \ln {\left ( 1+\frac{1}{n}\right )}$

Tomando infinitésimos equivalentes, $\ln {\left ( 1+\frac{1}{n}\right )}\sim \frac{1}{n}$

y nos queda:

$\ln l =\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n}=\lim_{n\to \infty} 1=1$

entonces:

$ln l=1 \Longrightarrow l=e$

Aproximación mediante Taylor

Mediante el desarrollo de Taylor, podemos dar un valor aproximado del número $e$:

$e=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{n!}+...$

es decir

$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{n!}+...=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$

es decir $e$ es la suma de los inversos de los factoriales.