Continuidad

Una función real de variable real, se dice que es continua en $x=a\Leftrightarrow \lim _{x\to a}f(x)=f(a)$.

Es decir se tienen que cumplir tres condiciones:

1. Que el límite exista, y esto quiere decir que: $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)$.
2. Que exista el valor de la función en $x=a\to a\in {\mathcal {D}}\!_{f}$.
3. Los dos valores de las dos condiciones anteriores tienen que ser iguales.

Continuidad lateral

Se dice que $f(x)$ es continua por la izquierda en $x=a$ si se cumple que: $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$, y análogamente se dice que $f(x)$ es continua por la derecha si se cumple que: $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$

Continuidad en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado

Se dice que $f(x)$ es continua en el intervalo abierto $(a,b)$ si es continua en todos los puntos de ese intervalo. Y se dice que $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ si es continua en el abierto, continua en $a$ por la derecha $(a^{+})$ y continua en $b$ por la izquierda $(b^{-})$