Demostración:
Sea una cubierta abierta de y sea el subintervalo es recubierto por finitos elementos de .
Observemos que pues como la familia cubre a I, pues basta entonces elegir un tal que .
Como acota superiormente a entonces existe .
Queremos demostrar que , y para esto debemos hacer dos cosas acerca de :
Como tal que .
y si .
Puesto que tal que .
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \/ \therefore [a,y]}
se cubre con finitos abiertos de , mientras que con uno solo de . Entonces está recubierto por un número finito de abiertos de y así lo cual demuestra (1).
Supongamos ahora que , entonces , y así está recubierto por finitos elementos de , i.e. lo cual contradice que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \/\Rightarrow \alpha = b}
, que establece a (2)